Schrödinger incontra Heisenberg nella Fisica quantistica

Questo contenuto è l’ultimo di una serie di quattro articoli preparati per fare in modo che i lettori interessati possano capire l’equazione di Schrödinger ed avere quindi il bagaglio culturale necessario per seguirci nelle puntate a seguire, dove tratteremo l’equazione di Dirac, orbitali di legame e antilegame e molto altro. Se vi siete persi le altre puntate, a questo link trovate la prima puntata, qui la seconda e qui la terza.  

La meccanica quantistica da un punto di vista matematico appare alquanto diversa dalla teoria classica di Newton. Ogni particella si comporta in un modo non perfettamente ben determinato: il suo comportamento può essere descritto mediante una funzione d’onda ψ(x, t) a valori complessi che ci dà informazioni sulla probabilità che la particella si trovi in un determinato luogo.

Possiamo calcolare grandezze relative alla particella, come posizione, quantità di moto o energia, considerando il valore medio del corrispondente operatore simmetrico (nella fattispecie e ) mediante la funzione d’onda: .

Questi valori medi “si comportano bene” cioè obbediscono alla legge di Newton. Ciò può essere rassicurante dato che significa che in media le leggi della Fisica classica vanno bene per descrivere la Fisica delle particelle. Ma allora cosa ci dice la meccanica quantistica in più? Dove fallisce la meccanica classica?

Dato che la meccanica quantistica è per natura una teoria probabilistica (per quanto riguarda il moto delle particelle ma non per quanto riguarda l’evoluzione della funzione d’onda che deve invece risolvere un’equazione differenziale ben precisa, l’equazione di Schrödinger), come tutte le teorie di probabilità ci dice non solo quale sia il valore più atteso come risultato di una misura, ma anche come stimare l’errore commesso.

Per esempio, supponiamo che una certa grandezza possa assumere i valori x₁, x₂, …, x_n ciascuno con probabilità p₁, p₂,…, p_n, in modo che il valore medio per tale grandezza sia . Se ripetiamo tante volte le misure ci aspettiamo che in media questo sia il valore attorno a cui i risultati si distribuiscono. La teoria delle probabilità dice anche che possiamo stimare grosso modo l’errore che possiamo commettere quando diciamo che è il risultato delle nostre misure. Tale errore Δx, detto scarto quadratico, è  

cioè: per ogni valore possibile x_i si prende il quadrato dello scarto rispetto al valor medio, e poi se ne calcola il valore medio. Infine si prende la radice quadrata del valore ottenuto.

Applichiamolo alla meccanica quantistica. Sia A la grandezza che vorremmo misurare, per esempio la posizione x o la quantità di moto p di una particella. Tale grandezza è descritta da un operatore simmetrico  e la particella da una funzione d’onda ψ. Il valore da assegnare alla grandezza è quindi Ma ora possiamo anche calcolare l’errore entro il quale possiamo dire che questo sia il risultato. Usando la formula sopra abbiamo

Nella scorsa puntata abbiamo visto che se  è simmetrico allora è un numero reale. Ne segue facilmente che anche Â- è simmetrico (si ricordi che è semplicemente un numero). Usando allora che per ogni f e g vale otteniamo

Questa è la formula con cui la meccanica ci dice entro quale precisione possiamo conoscere la grandezza A. Se conosciamo la funzione d’onda ψ(x, t) di una particella diremo allora che molto probabilmente all’istante t la particella si trova nel punto con incertezza Δx, ed avrà una quantità di moto con incertezza Δp.
Un punto importante è che gli operatori soddisfano alla relazione

Infatti

Osservando che sono semplicemente dei numeri, possiamo riscrivere questa relazione nella forma

Vogliamo dimostrare che da questa relazione segue la seguente disuguaglianza

nota come principio di indeterminazione di Heisenberg.

Usando che tutti gli operatori che compaiono sono simmetrici e le loro proprietà, e posto abbiamo che

e quindi la relazione sopra diventa

dove, se z = x + iy, si ha Im(z) = y. Essa soddisfa da cui

Applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz otteniamo

che coincide con ciò che volevamo dimostrare.

Il principio di indeterminazione di Heisenberg è la prima importante differenza tra la meccanica classica e quella quantistica. Dato per una particella che si muove con velocità v è p = mv, possiamo riscriverlo nella forma

ovvero ad una particella non è possibile assegnare una posizione e una velocità con la precisione che si vuole. Tanto più piccolo è l’errore sulla posizione, tanto più grande è l’errore nella definizione della velocità. Per una biglia della massa di 10 grammi e del raggio di 1cm, ricordando che ħ ~ 0^-34 J·s, se della biglia conosciamo la posizione con una certezza di un decimo di millimetro, troviamo per la velocità un errore

È talmente piccolo che nessuno strumento sarebbe in grado di rivelarlo. Ma per un elettrone, che ha un raggio di circa 2·10⁻¹⁵m, m ≃ 9·10⁻³¹Kg per cui potremmo pensare di conoscerne la posizione con una precisione Δx ~ 10⁻¹⁵m. Troviamo

ovvero sbaglieremmo a misurare la sua velocità con un errore di almeno 180 volte la velocitò della luce! Ecco perchè una biglia è classica e un elettrone no.

Sergio Cacciatori è ricercatore e docente presso il dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia dell’Università dell’Insubria. Si occupa essenzialmente di Fisica Teorica e Fisica Matematica. 

Massimo Bertini, insegnante di liceo.

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